PROGRAM LINEAR KELAS XI (Bagian 1)

Dokumentasi Pribadi

Assalamu'alaykum. Wr.Wb. Semangat PAGI.
Pastikan pagi ini kalian sudah mengawali kegiatan belajar dengan membaca Al-Qur'an, jika belum silahkan ambil Al-Qur'an (Mushaf) mu dan baca secara bersama-sama dikelas.

Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) - Para pengusaha tentu ingin memperoleh keuntungan maksimum dalam melakukan usahanya, dalam bentuk apapun itu. Sebelum melakukan transaksi ataupun pengambilan keputusan dalam usahanya, mereka pasti membuat perhitungan yang matang tentang langkah apa yang harus dilakukan, dipertimbangkan apa saja kendalanya dan apa saja peluangnya. Oleh karena itu, diperlukan metode yang tepat dalam pengambilan keputusan pengusaha tersebut untuk memperoleh keuntungan maksimum dan meminimumkan kerugian yang mungkin terjadi.

Contoh permasalahan diatas contoh konkret penerapan program linear dalam kehidupan sehari-hari. Lalu apa kaitannya dengan SPLDV ? SPLDV merupakan modal awal / dasar yang harus dikuasai sebelum membuat pemodelan matematika dan menyelesaikan persoalan program linear. SPLDV bukanlah materi yang asing bagi kalian sebenarnya, kalian sudah mempelajarinya saaat duduk dibangku SMP dan diulas kembali dikelas X. Masih ingatkah kalian?

Tujuan Pembelajaran :
  1. Setelah mempelajari bab ini, diharapkan kalian dapat
  2. menjelaskan sistem pertidaksamaan linear dua variabel dan penyelesaiannya;
  3. menentukan fungsi tujuan (fungsi objektif) beserta kendala yang harus dipenuhi dalam masalah program linear;
  4. menggambarkan kendala sebagai daerah pada bidang yang memenuhi sistem pertidaksamaan linear;
  5. menentukan nilai optimum dari fungsi tujuan sebagai penyelesaian dari program linear;
  6. menafsirkan nilai optimum yang diperoleh sebagai penyelesaian masalah program linear.
Pada pokok bahasan kali ini, kita akan membahas suatu metode untuk mengoptimalkan (memaksimumkan/meminimumkan) keuntungan atau biaya, yaitu program linear. Program linear banyak digunakan dalam kehidupan sehari-hari, misalnya dalam bidang ekonomi, perdagangan, dan pertanian.

Untuk mempelajari program linear, mari kita ingat kembali tentang cara menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel.

A. Sistem Pertidaksamaan Linear

1. Menyelesaikan Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Pada pembahasan kali ini, kita akan menentukan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dengan dua variabel menggunakan metode grafik. Metode grafik dimaksudkan untuk melihat secara visual gambaran tentang daerah penyelesaian dari pertidaksamaan linear yang berbentuk aljabar. Karena secara umum grafik pertidaksamaan linear seperti ax + by  c, ax + by > c, ax + by < c, dan ax + by  c berupa daerah yang dibatasi oleh garis ax + by = c maka langkah-langkah dalam mengambar grafik pertidaksamaan linear adalah:

a. menggambar grafik garis ax + by = c sebagai batas daerahnya;
b. menyelidiki daerah penyelesaian yang dimaksud apakah berada di sebelah kiri, sebelah kanan, di atas, atau di bawah garis batas yang telah dilukis.

Suatu hal yang harus diingat dalam menggambar grafik sebuah garis adalah menentukan dua titik sembarang pada garis itu kemudian menghubungkannya dengan sebuah garis lurus, sedangkan dua titik sembarang yang mudah perhitungannya adalah titik potong garis ax + by = c dengan sumbu X dan titik potong garis dengan sumbu Y. Titik potong dengan sumbu X mempunyai bentuk (..., 0), yakni dicapai saat nilai y = 0, dan titik potong dengan sumbu Y mempunyai bentuk (0, ...), yakni dicapai saat nilai x = 0.

Dari alasan-alasan di atas maka untuk menggambar daerah penyelesaian pertidaksamaan linear adalah sebagai berikut.
a. Gambar grafik garis lurus pembatasnya dengan mengisi format :

x
0
...
y
...
0
(x, y)
(0, ...)
(..., 0)

b. Menyelidiki daerah yang merupakan penyelesaian dengan mengambil salah satu titik yang mudah, yaitu (0, 0). Perhatikan contoh-contoh berikut.

Contoh Soal 1 :
Gambarlah daerah himpunan penyelesaian linear berikut pada bidang Cartesius.

a. 3x + 2y  6, dengan x, y ϵ R
b. 2x + y > – 4, dengan x, y ϵ R

Penyelesaian :

a. 3x + 2y  6, dengan x, y ϵ R

Untuk menentukan daerah penyelesaian pertidaksamaan linear di atas, langkah-langkah pengerjaannya adalah sebagai berikut.

1) Menggambar grafik garis lurus pembatasnya

a) Titik potong dengan sumbu X, berarti y = 0. Kita ubah pertidaksamaan menjadi persamaan 3x + 2y = 6 sehingga 3x + 2(0) = 6  3x = 6  x = 2. Jadi, titik potong grafik dengan sumbu X adalah (2, 0).
b) Titik potong dengan sumbu Y, berarti x = 0. Kita ubah persamaan menjadi 3x + 2y = 6  3(0) + 2y = 6  2y = 6  y = 3. Jadi, koordinat titik potong grafik dengan sumbu Y adalah (0, 3).

Hal tersebut dapat disajikan dengan tabel berikut. 

x
0
2
y
3
0
(x, y)
(0, 3)
(2, 0)

Grafik 3x + 2y = 6 dapat diperoleh dengan membuat garis yang menghubungkan koordinat (0, 3) dan (2, 0) seperti pada Gambar 1 (a).
Garis yang menghubungkan koordinat pada grafik
Gambar 1. Garis yang menghubungkan koordinat pada grafik.
2) Menyelidiki daerah penyelesaian

Gambar 1 (a) merupakan grafik himpunan penyelesaian untuk persamaan 3x + 2y = 6. Tampak bahwa garis 3x + 2y = 6 membagi bidang Cartesius menjadi dua daerah, yaitu atas (kanan) garis dan bawah (kiri) garis. Untuk menentukan daerah himpunan penyelesaian 3x + 2y  6, ambil sembarang titik, misalnya (0, 0) dan substitusikan ke dalam pertidaksamaan linear 3x + 2y  6 sehingga diperoleh 3(0) + 2(0)  6  0  6 (pernyataan salah)

Karena titik (0, 0) terletak di bawah (kiri) garis dan setelah kita substitusikan ke pertidaksamaan itu, diperoleh pernyataan yang salah maka titik (0, 0) tidak berada pada daerah penyelesaian. Jadi, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang diberi arsiran, seperti pada Gambar 1 (b).

b. 2x + y > – 4, x, y ϵ R

Langkah-langkah untuk menentukan daerah penyelesaian adalah sebagai berikut.

1) Menggambar grafik garis lurus pembatasnya

Dengan cara seperti di atas, diperoleh sebagai berikut.

Untuk x = 0 maka 2(0) + y = –4  y = –4.
Untuk y = 0 maka 2x + 0 = –4  x = –2

x
0
–2
y
–4
0
(x, y)
(0, –4)
(–2, 0)

Jadi, titik potong dengan sumbu koordinat adalah (0, –4) dan (–2, 0). Gambarnya terlihat pada Gambar 2. (a).

2) Menyelidiki daerah penyelesaian

Untuk menentukan daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan, kita ambil titik (0, 0). Dengan menyubstitusikan titik (0, 0) pada pertidaksamaan maka diperoleh 2(0) + 0 > –4  0 > –4.

Terlihat bahwa pernyataan 0 > – 4 benar. Berarti, titik (0, 0) berada pada daerah penyelesaian, sedangkan garis 2x + y = –4 tidak memenuhi pertidaksamaan sehingga digambar putus-putus. Oleh karena titik (0, 0) berada di atas garis 2x + y = –4 maka daerah di atas garis diberi arsiran. Jadi, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang diarsir, seperti pada Gambar 2. (b). Grafiknya dapat ditampilkan sebagai berikut.
Grafik daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan
Gambar 2. Grafik daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan.
Contoh Soal 2 :

Tentukan daerah himpunan penyelesaian yang memenuhi sistem pertidaksamaan berikut.

a. x  0; y  0; 2x + y  4; x, y ϵ R
b. x  0; y  0; x  3; x + y  5; x, y ϵ R

Pembahasan :

a. x  0; y  0; 2x + y  4

1) Kita cari titik potong 2x + y = 4 dengan sumbu koordinat Cartesius.
x
0
2
y
4
0
(x, y)
(0, 4)
(2, 0)

Untuk x = 0  2(0) + y = 4  y = 4.
Untuk y = 0  2x + 0 = 4  2x = 4  x = 2.

Jadi, diperoleh titik potong (0, 4) dan (2, 0).

2) Grafik sistem pertidaksamaan linear tersebut tampak pada gambar di samping.

Pada grafik di samping,

a) penyelesaian x  0 tersebut berada di sebelah kanan sumbu Y maka yang kita arsir adalah daerah tersebut;
b) penyelesaian y  0 terletak di sebelah atas sumbu X maka kita arsir daerah tersebut;
c) untuk menyelidiki daerah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2x + y  4 maka ambil titik (0, 0), kemudian substitusikan ke 2x + y  4 sehingga diperoleh 2(0) + 0  4  0  4.

Terlihat pernyataan di atas benar. Jadi, titik (0, 0) berada di dalam daerah penyelesaian sehingga daerah di mana titik (0, 0) berada, yaitu di bawah garis 2x + y = 4 kita arsir.

Dari ketiga himpunan penyelesaian yang diperoleh, dapat disimpulkan bahwa daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear itu adalah irisan atau interseksi dari ketiga himpunan penyelesaian pertidaksamaan tersebut. Jadi, daerah yang diarsir adalah daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear, seperti terlihat pada Gambar 3.
Daerah yang diarsir adalah daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear
Gambar 3. Daerah yang diarsir adalah daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear.
b. x  0; y  0; x  3; x + y  5; x, y ϵ R

1) Kita cari titik potong x + y = 5 dengan sumbu koordinat Cartesius.

Untuk x = 0  0 + y = 5  y = 5
Untuk y = 0  x + 0 = 5  x = 5

Jadi, diperoleh titik potong (0, 5) dan (5, 0)

2) Grafik sistem pertidaksamaan linear tersebut adalah sebagai berikut.

Grafik sistem pertidaksamaan linear
Gambar 4. Grafik sistem pertidaksamaan linear.
Dari Gambar 4, tampak :

a) penyelesaian x  0 adalah daerah di sebelah kanan sumbu Y (daerah arsiran);
b) penyelesaian y  0 terletak di sebelah atas sumbu X (daerah arsiran);

c) penyelesaian x  3 adalah daerah di sebelah kiri garis x = 3;
d) penyelesaian pertidaksamaan x + y  5 adalah daerah di sebelah kiri (bawah garis x + y = 5);
e) titik potong garis x = 3 dan x + y = 5 dengan menyubstitusikan x = 3 ke persamaan x + y = 5 sehingga diperoleh y = 2. Jadi, titik potongnya adalah (3, 2).

Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan x  0, y  0, x  3, dan x + y  5 dengan x, y ϵ R adalah daerah segi empat OABC yang diarsir, seperti terlihat pada Gambar 4. (Sumber: nafi'un.com)

Bagaimana apakah sudah bisa dimengerti?
Jika belum coba kalian baca sekali lagi dan catat dibuku masing-masing.
Jika masih belum bisa memahami silhkan cari literatur lain dengan materi serupa. menonton video penejelasan di youtube sangat disarankan. masukkan kata kunci "menyelesaikan soal program linear".

Setelah selesai, sebagai bahan latihan coba kerjakan soal berikut ini secara berkelompok. Dan catatlah hasilnya.

LATIHAN
Tentukan daerah himpunan penyelesaian yang memenuhi sistem pertidak samaan linear berikut ini.

1. 3x + 4y ≤ 12

2. x + y < 9
    6x + 11y ≤ 66
    x ≥ 0
    y ≥ 0

Catatan: Gambar masing-masing nomor dalam satu grafik, jadi dalam satu grafik sola nomor 1 ada dua kurva, soal nomor 2 ada satu kurva, dan soal nomor 3 ada ada 2 kurva, 2 sumbu x, y.

DIAKHIR PELAJARAN, SILAHKAN KUMPULKAN HASILNYA KEPADA GURUMU.

Terimakasih.

0 Response to "PROGRAM LINEAR KELAS XI (Bagian 1)"

Post a Comment

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel